Espace projectif

Cet article concerne la notion d'espace projectif associé à un espace vectoriel. Pour les différentes façons de définir un cadre dans lequel donner sens à la géométrie projective, voir géométrie projective.

En mathématiques, un espace projectif est le résultat d'une construction fondamentale qui consiste à rendre homogène un espace vectoriel, autrement dit à raisonner indépendamment des proportionnalités pour ne plus considérer que des directions. Par exemple, l'espace projectif réel de dimension n, P_n(ℝ),ou RPⁿ, est l'ensemble des droites vectorielles ou des directions de ℝⁿ⁺¹ ; formellement, c'est le quotient de ℝⁿ⁺¹\{0} par la relation d'équivalence de colinéarité. On peut munir ces espaces projectifs de structures additionnelles pour en faire des variétés. L'idée sous-tendant cette construction remonte aux descriptions mathématiques de la perspective.

L'espace construit permet d'obtenir, à partir de l'algèbre linéaire, une géométrie aux énoncés très simples et généraux, la géométrie projective, qui avait déjà fait l'objet d'études importantes au XIX^e siècle avec d'autres modes d'introduction. Dans le cas du corps des réels, on fonde ainsi une extension de la géométrie affine donnant un sens à la notion de point ou droite à l'infini. Les espaces projectifs sont aussi utilisés sur le corps des nombres complexes pour obtenir une bonne théorie de l'intersection pour les variétés algébriques.

L'espace projectif possède une généralisation naturelle, la grassmannienne, qui consiste à considérer des sous-espaces vectoriels de dimension k au lieu de se limiter aux droites.